[응용통계학] Chapter 8-1. Inferences on a Population Mean

8장에서 배울거 : Confidence intervals(신뢰구간) | Hypothesis testing(가설 검정)

 

Sample Data

- unknown continuos probability distribution에서 independent observation을 뽑은 것

 

Confidence Interval

- Confidence interval for μ is an interval that contains  plausible   values of the parameter μ

- μ에 대한 신뢰 구간은 매개 변수 μ의 그럴듯한 값을 포함하는 구간입니다.

- 무언가를 추정하는 것=> 표준 편차도 그런 의미였다. 

- but, 표준편차는 점추정치이고, 신뢰 구간은 추정의 '구간'임

 

 

• Confidence interval is associated with a confidence level
• ex) population mean이 특정 구간에 속할 확률이 90%이다.  <=> 이런 식으로 사용 됨

 

• Confidence interval : unknown 파라미타가 있는 구간
• Confidence level : 실제값이 그 안에 있을 확률

 

t-intervals 

• Implementation of t-intervals requires that the sample mean be an observation from a normal distribution
• t-interval을 구현하려면 표본 평균이 정규 분포의 관측치 여야합니다.
• 그런데 central limit theorem에(CLT) 따르면 sample size가 30개 이상이면 보통 정규분포를 근사한다고 가정한다.

따라서 t-interval을 적용하기 위해서는

• 정규분포 이거나
• sample size가 30개 보다 크거나 해야한다. 
• 두 가지에 해당 안될때 t-interval 사용법(nonparametric technique이란 게 있음)은 챕터 15에서 두둥등장
• confidence level을 알고 있을 때 confidence interval을 계산하는 법(아래 그림)
•  

• 여기서 x bar는 점 추정치, t_a/2는 critical point, s/root(n) 은 standard error이다. 
• 실제 평균과 점추정치가 같을 때 당연히 최고이지만, 우리는 추정을 하는 것이니까 Critical point(t_a/2) * standard deviation을 더하고 빼서 구간을 만든 거임

• 이 interval을 two-sided t-interval or variance unknown confidence interval 이라고 부른다 

 

Length of t-intervals

• confidence interval의 길이를 구하는 것은 매우 간단

• critical point * s.e * 2배
• standard error가 감소할수록, length가 줄어들고,  실제 평균과 점추정치가 비슷해진다. 
• 또한 confidence level(1-a)이 증가 할수록, a(알파)는 감소하고 
  • critical point는 증가하고, 따라서 confidence interval은 길어진다. 

이걸 생각하면 이해가 된다. 

• Higher confidence levels require longer confidence

** confidence interval 안에 모집단의 평균이 있다는 것이지, 실제 데이터가 confidence interval에 존재한다는 것은 아니다.